Mathe EPh

Analysis

Ganzrationale Funktionen / Sinus-Funktion

  • Übungen zum Globalverhalten / Unendlichkeitsverhalten mit Lösungen gibt es hier. Auch wenn eine andere Schrebweise als im Unterricht verwendet wird, sind die Aufgaben nicht schlecht. Die in den Aufgaben verwendete Limes-Schreibweise mag etwas anders aussehen, meint aber dasselbe. Zu lesen ist sie als „Limes / Grenzwert für x gegen +/- unendlich (steht unter dem \lim)“.
  • Für das Arbeitsblatt zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen findet ihr hier einen Lösungsvorschlag. 
  • Zum Thema Transformation von granzrationalen Funktionen: Hier gibt es die aktualisierte  Version des im Unterricht ausgeteilten ABs („Transformationen von ganzrationalen Funktionen“ in GK 4). Ihr erinnert euch? Da hatte sich ein Fehler eingeschlichen und der Parameter a hieß noch k 😉 Zudem habe ich hier nochmal eine GeoGebra-Datei geklöppelt, mit der ihr den Einfluss der Paramter a, c und d ausprobieren könnt. Beachtet, dass für c>0 der Graph von T nach rechts (!) verschoben wird, in der Funktionsvorschrift wegen des T(x) = a\cdotf(x-c)+d allerdings überall (x-c) (!!) steht. Es ist also genau entgegengesetzt zur Intuition, wenn man auf die Funktionsvorschrift von T gucken würde.
    Merkhilfe gefällig? Bitteschön: Die Scheitelpunktform, die ihr seit der 9. Klasse kennt, lautet f(x) = a(x-d)^2+e mit Scheitelpunkt S(+d|e). Der Scheitelpunkt ist also für (x-d) nach rechts (zu x=+d) verschoben worden.
  • Zur Transformation der Sinusfunktion gibt es hier einen Lösungsvorschlag [17.12.18: Korrektur 3f: a = -2 (statt a = 2)] (Aufgaben bei GeoGebra: Aufgabe 1, Aufgabe 2, Aufgae 3 [Nr. 9] – evtl. zur besseren Übersichtlichkeit die einzelnen Graphen links ein- und ausblenden!). Zudem gibt es auf meiner GeoGebra-Seite die Möglichkeit, die Auswirkungen der Parameter zu studieren.

Änderungen beschreiben und erste Ableitungen

  • Übergang zur Sekantensteigung am Beispiel einer Sprungschanze (Sprungschanze S. 99 Nr. 16.ggb, Lösungsvorschlag).
  • Im Unterricht haben wir uns intensiv mit dem Übergang von den Sekanten zur Tangente beschäftigt. Hier ist das zugehörige Plakat und noch eine Übersicht zum Übergang zur Tangensteigung, die die Zusammenhänge der uns bekannten Differenzenquotienten erläutert.
  • Zum Arbeitsblatt „Ermitteln der Tangentensteigung / Graphisches Ableiten“ gibt es hier die zugehörigen GeoGebra-Dateien und einen Lösungsvorschlag für die einskizzierte Ableitung (in orange ist die Ableitung einskizziert; in blau ist die Ableitung der Ableitung (= zweite Ableitung) einskizziert).
  • Die Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse als Präsentation könnt ihr euch hier noch einmal ansehen. Leider ist der Feuerwerkseffekt nicht mit exportiert worden. Naja… Man kann nicht alles haben 😉
  • Für den Grenzwertprozess bei der h-Methode findet ihr hier eine super GeoGebra-Datei (und hier meine nicht mal halb so schöne Version 🙂 – dafür allerdings mit veränderlichem x_0).
  • Rechnerische Bestimmung der Ableitung einer Funktion an einer Stelle mit Hilfe der h-Methode: Lösungsvorschlag zu S. 118 Nr. 6. Hier ist die zugehörige Präsentation aus dem Unterricht (sogar mit Feuerwerk! 😉 )– in der Stunde haben wir auch das allererstemal eine Ableitungsfunktion hergeleitet (durch Verallgemeinerung der in der h-Methode betrachteten Stelle – zu dem kleinen AB gibt es hier noch einen Lösungsvorschlag [Auf Seite 3 steht unten: Dies führt später auf die Potenzregel zum Ableiten ganzrationaler Funktionen]). Zudem gibt es hier noch ein Beispiel für die rechnerische Bestimmung der (allgemeinen) Ableitungsfunktion mit Hilfe der h-Methode (bitte beachtet: in der Tafel hatten wir statt x so wie auf dem Blatt x_0 geschrieben). 

Ableitungsregeln und Kurvendiskussion

  • Natürlich ist es lästig, Ableitungen mithilfe der h-Methode zu berechnen. Man verrechnet sich schnell und es ist natürlich auch sehr aufwändig – stellt euch vor, ihr müsstest f(x) = -3x^7+5x^6-7x^4+3x^2-8x+9 mithilfe der h-Methode ableiten – da wäre man Weihnachten noch nicht fertig… Beobachtet man die Rechnungen / Prozesse bei der h-Methode ganz genau, ergeben sich Ableitungsregeln, im speziellen die Potenz-, Faktor- und Summenregel. Hier könnt ihr euch noch einmal durch die Präsentation klicken, mit der wir auf die Regeln gestoßen sind. Die Regeln werden im Buch sehr verständlich hergeleitet und bewiesen.
  • Ableitungsregeln: Hier gibt es einen Lösungsvorschlag zu S. 123 Nr. 5, hier zu Nr. 6.
  • Wer das Berechnen von einfachen Ableitungen üben möchte, kann dies mit GeoGebra tun. Denkt euch eine Funktion aus (gebt bspw. ein: f(x) = 5x^3+7x^2-8x+9) – mit der Eingabe von f‘ berechnet GeoGebra dann die Ableitung, vgl. dieses Beispiel.
  • Zur Regentonnen-Aufgabe (AB „Ableitungsregeln“ Nr. 5) könnt ihr euch hier die Graphen von f und f' ansehen.
  • Zum Aufstellen von Tangentengleichungen könnt ihr euch hier noch einmal die Präsentaion ansehen.
  • Zum kleinen AB (s. Präsentation bzw. hier) gibt es hier einen Lösungsvorschlag, allerdings ohne Rechenweg (GeoGebra zeigt die Werte auch gerundet an!).
  • Zu der Aufgabe im Buch (S. 177 Nr. 1 – Tangente und Normale aufstellen) findet ihr hier einen Lösungsvorschlag. Beachtet, dass für die Steigungen zweier senkrechter Geraden gilt: m_1 \cdot m_2 = -1. In der Aufgabe dementsprechend: m_\text{Tangente} \cdot m_\text{Normale} = -1.
  •  Die Präsentation zu den charakteristischen Punkten  eines Funktionsgraphen könnt ihr hier noch einmal durchklicken.
  • Ein Beispiel für die Berechnung von lokalen Hoch- und Tiefpunkten findet ihr hier.
  • Und hier gibt es noch ein Beispiel (S. 151 Nr. 3b).
  • Zudem gibt es hier einen Lösungsorschlag zu Nr. 3 des Arbeitsblatts „Berechnung von lokalen Hoch- und Tiefpunkten“.  Das war das Arbeitsblatt, auf dem wir uns zum ersten Mal überlegt haben, wie wir über die Ableitung auf die sogenannten kritischen Stellen kommen können. Das waren die Stellen, an denen ein Extremum vorliegen kann, aber nicht muss (es könnte ja auch ein Sattelpunkt sein). Bitte beachten: Kritische Stellen dürfen bei der Auswahl von Stellen für den VZW nicht „übersprungen“ werden! Zeichnet euch ggfs. einen Zahlenstrahl wie in dem Lösungsvorschlag auf.
  • Bei den Aufgaben im Sachkontext dürft ihr nicht vergessen, dass Extrema auch am Rand des Intervalls liegen können (zumeist „Betrachtungszeitraum“ oder „Beobachtungszeitraum“ etc.). Wir hatten dies am Beispiel des Heißluftballons besprochen. Während der Ansatz f'(t) = 0 nur die Stellen liefert, an denen der Graph eine zur x-Achse parallele Tangente besitzt, kann es sein, dass der Heißluftballon im Beobachtungszeitraum (Intervall [0,120] bzw. 0 \leq t \leq 120) höher oder tiefer fliegt, als durch die Extrema angegeben wird. Dies macht auch noch einmal sehr schön den Unterschied zwischen lokalen Extrema und globalen Extrema deutlich (global bezieht sich hier auf das betrachtete Intervall!). Ein Foto von einer möglichen Flugbahn des Heißluftballons könnt ihr euch hier noch einmal ansehen. Um zu überprüfen, ob Extrema am Rand des Intervalls vorliegen, setzt man die Randwerte (t = 0, t = 120) in f ein und vergleicht, ob diese Werte größer / kleiner als die berechneten, lokalen Extremwerte sind.

Komplette Kurvendiskussionen

  • Hier gibt es die komplette Untersuchung der Funktion f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x (zur Verfügung gestellte Hausaufgaben). Meinen Lösungsvorschlag und die Diskussion der Funktionenschar f_a gibt es hier. Das Dokument ist etwas umfangreicher – möchte man die Hoch- bzw. Tiefpunktberechnung in Abhängigkeit des Parameters a zweifelsfrei aufschreiben, macht es das ganze natürlich umfangreich.

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Exponentialfunktion

  • Von Bayern Alpha gibt es eine gute Übersichtsseite / Selbstlernseite zum Thema Exponentialfunktion. Diese Seite habe ich euch auch im Unterricht gezeigt. Leider passt der Stoff dort nicht hundertprozentig auf die EPh, aber das wichtigste wird dort behandelt. Neben unserer Mindmap könnt ihr auch auf den Spickzettel dort zurückgreifen. Wer mag, kann auch das Quiz machen (leider sind die meisten Fragen für die EPh uninteressant, korrekt beantworten solltet ihr Frage 1, Frage 2 (a gesucht), Frage 5).
  • Gut ist auch dieser Ausschnitt eines Schulbuchs. Hier gibt es nochmal das wichtigste auf einen Blick (mitsamt ein paar Aufgaben).
  • Zu dem AB „Exponentialfunktionen in Anwendungskontexten – Übungen“ gibt es zu den Nummern 4, 11, 12 und 13 hier einen Lösungsvorschlag.

 


Stochastik


Lineare Algebra

folgt.


Klausuren

  • Klausur 1: schon gelaufen.
  • Klausur 2: Für die 2. Klausur (Mittwoch, 19.12.2018) habe ich eine Ich-kann-Satz-Liste erstellt, mit der ihr eure Fähigkeiten und Fertigkeiten einschätzen könnt. Bitte beachtet, dass die Liste keine Gewähr für den Rahmen und Schwierigkeit der Klausur darstellt – alles im Unterricht behandelte ist klausurrelevant (es sei denn, Themen wurden explizit ausgeschlossen). Wenn ihr Fragen habt, meldet euch gerne per Mail (s. Kontakt). Sollten Informationen für alle Schülerinnen und Schüler (eines GKs) relevant sein, werde ich sie unter der Liste aufführen.
  • Klausur 3: Für die 3. Klausur (Donnerstag, 11.03.2019) gibt’s wieder eine Ich-kann-Satz-Liste, mit der ihr eure Fähigkeiten und Fertigkeiten einschätzen könnt. Bitte beachtet, dass die Liste keine Gewähr für den Rahmen und Schwierigkeit der Klausur darstellt – alles im Unterricht behandelte ist klausurrelevant (es sei denn, Themen wurden explizit ausgeschlossen). Wenn ihr Fragen habt, meldet euch gerne per Mail (s. Kontakt). Sollten Informationen für alle Schülerinnen und Schüler (eines GKs) relevant sein, werde ich sie unter der Liste aufführen. Kommt also ab und an mal wieder vorbei 😉
  • Klausur 4: Die vierte Klausur im Schuljahr (2. Klausur im 2. Halbjahr, Termin: Mittwoch, 13.06.2019) wird zentral gestellt. Alle Informationen (inkl. Beispielaufgaben / -lösungen) und Hinweise gibt es auf der Seite der Bezirksregierung (Navigation links; die Zugangsdaten teile ich euch im Unterricht mit): Zentrale Klausuren S II